insegnante di matematica

Livadiysky UVK

Posternakova Olga Glebovna

IL CONCETTO DI SOFISTISMO

Sofisma - (dal greco sophisma - trucco, trucco, invenzione, enigma), una conclusione o un ragionamento che conferma qualche deliberata assurdità, assurdità o affermazione paradossale che contraddice le idee generalmente accettate.

• I sofisti erano un gruppo di filosofi dell'antica Grecia del IV-V secolo a.C. che raggiunsero una grande abilità nella logica. Durante il periodo di declino della morale dell'antica società greca (V secolo), apparvero i cosiddetti maestri di eloquenza, che consideravano e chiamavano l'acquisizione e la diffusione della saggezza lo scopo della loro attività, a seguito della quale chiamavano stessi sofisti.

• Le più famose sono le attività dei sofisti anziani, che includono Protagora di Abdera, Gorgia di Leontypus, Ippia di Elide e Prodice di Keos.

• Il famoso scienziato e filosofo Socrate fu inizialmente un sofista, partecipò attivamente alle controversie e alle discussioni tra i sofisti, ma presto iniziò a criticare gli insegnamenti dei sofisti e dei sofismi in generale. La filosofia di Socrate si basava sul fatto che la saggezza si acquisisce attraverso la comunicazione, attraverso la conversazione.

• Azioni vietate;
• trascuratezza delle condizioni dei teoremi; formule e regole;
• disegno errato;
• affidamento su conclusioni errate.

FORMULA PER IL SUCCESSO DEL SOFISTISMO

• Il successo del sofisma è determinato dalla seguente formula:

a+b+c+d+e+f ,

dove (a + c + e) ​​è un indicatore della forza del dialettico, (b + d + f) è un indicatore della debolezza della sua vittima.

• a - qualità facciali negative (mancanza di sviluppo della capacità di gestire l'attenzione). b - qualità positive di una persona (capacità di pensare attivamente) c - elemento affettivo nell'anima di un abile dialettico d - qualità che si risvegliano nell'anima della vittima del sofista e oscurano la chiarezza del pensiero nel suo e - tono categorico che non non consentire obiezioni, alcune espressioni facciali f - passività dell'ascoltatore
• a - qualità facciali negative (mancanza di sviluppo della capacità di gestire l'attenzione).
• b - qualità facciali positive (capacità di pensare attivamente)
• c - l'elemento affettivo nell'anima di un abile dialettico
• d - qualità che si risvegliano nell'anima della vittima del sofista e oscurano la sua chiarezza di pensiero
• e - tono categorico che non consente obiezioni, certe espressioni facciali
• f - passività dell'ascoltatore

• La somma di due numeri identici qualsiasi è zero.
• Prendiamo un numero arbitrario diverso da zero UN e scrivi l'equazione x = a. Moltiplicando entrambe le parti per (-4a), otteniamo -4ax = -4a 2. Somma ad entrambi i membri dell'ultima uguaglianza X 2 e spostando il termine -4a 2 a sinistra con il segno opposto, otteniamo x 2 -4ax + 4a 2 = x 2, da dove, notando che a sinistra c'è un quadrato completo, abbiamo
• (x-2a) 2 = x 2, x-2a = x.
• Sostituzione nell'ultima uguaglianza X con un numero uguale a, otteniamo a-2a = a, o -a = un, da cui 0 = a + a,
• cioè la somma di due numeri identici arbitrari UNè uguale a 0.

• Tutti i numeri sono uguali
• Dimostriamo che 5=6.
• Scriviamo l'uguaglianza:
• 35+10-45=42+12-54
• Mettiamo tra parentesi quelli generali
• moltiplicatori: 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
• Dividiamo entrambi i lati di questa uguaglianza per
• fattore comune (è tra parentesi):
• 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
• Significa, 5=6 .

• "Due due fa cinque."
• Indichiamo 4=a, 5=b, (a+b)/2=d. Abbiamo: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. Moltiplichiamo le ultime due uguaglianze per parti. Otteniamo: 2da-a*a=2db-b*b. Moltiplichiamo entrambi i lati dell'uguaglianza risultante per –1 e aggiungiamo d*d ai risultati. Avremo: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, ovvero (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), da cui a-d=b-d e a=b, cioè 2*2=5

• « Un fiammifero è lungo il doppio di un palo del telegrafo."
• Permettere e dm- durata della partita e b dm- lunghezza del palo. Indichiamo la differenza tra b e a con c.
• Abbiamo b - a = c, b = a + c. Moltiplichiamo queste due uguaglianze per parti e troviamo: b 2 - ab = ca + c 2. Sottrai bc da entrambi i lati. Otteniamo: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc, oppure b(b - a - c) = - c(b - a - c), da cui: b = - c, ma c = b - a , quindi b = a - b, oppure a = 2b.

SOPHIS TRIGONOMETRICO m

• Un numero infinitamente grande è uguale a zero
• Se l'angolo acuto aumenta. Avvicinandosi come limite a 900, la sua tangente, come è noto, cresce illimitatamente in valore assoluto, rimanendo positiva: tan90 0 = +∞.
• Ma se prendiamo un angolo ottuso e lo riduciamo, portandolo più vicino a 900 come limite, allora anche la sua tangente, pur rimanendo negativa, cresce indefinitamente in valore assoluto: tan90 0 = - ∞.
• Confrontiamo le formule (1) e (2): - ∞ = +∞

• "La creatura più veloce non può superare la più lenta"
• Il veloce Achille non potrà mai raggiungere la lenta tartaruga. Quando Achille raggiungerà la tartaruga, questa si sposterà leggermente in avanti. Coprirà rapidamente questa distanza, ma la tartaruga andrà un po' oltre. E così via all'infinito. Ogni volta che Achille raggiungerà il luogo in cui prima si trovava la tartaruga, sarà almeno un po' più avanti.

• "I sofismi di Cratilo"
• Il dialettico Eraclito, dopo aver proclamato la tesi “tutto scorre”, spiegò che non si può entrare due volte nello stesso fiume (immagine della natura), perché quando colui che entrerà la prossima volta, un'altra acqua scorrerà su di lui. Il suo allievo Cratilo trasse altre conclusioni dall'affermazione dell'insegnante: non puoi entrare nello stesso fiume nemmeno una volta, perché nel momento in cui entri, cambierà già.

• “Colui che era seduto si alzò; chi si alza si alza; perciò chi è seduto sta in piedi”.
• “Socrate è un uomo; l'uomo non è lo stesso di Socrate; Quindi Socrate è qualcosa di diverso da Socrate”.
• “Per vedere non è affatto necessario avere gli occhi, perché senza l'occhio destro vediamo, senza il sinistro vediamo anche; A parte la destra e la sinistra, non abbiamo altri occhi; quindi è chiaro che gli occhi non sono necessari per la vista”.
• “Chi mente parla della cosa in questione, oppure non ne parla; se parla di affari non mente; se non parla di affari, parla di qualcosa che non esiste, ed è impossibile non solo mentire, ma anche pensarlo e parlarne”.

• “La stessa cosa non può avere una proprietà e non averla. La contabilità dei costi presuppone indipendenza, interesse e responsabilità. L’interesse ovviamente non è responsabilità, e la responsabilità non è indipendenza. Si scopre, contrariamente a quanto detto all’inizio, che la contabilità dei costi include indipendenza e mancanza di indipendenza, responsabilità e irresponsabilità”.

• “La società per azioni, che una volta riceveva un prestito dallo Stato, ora non lo deve più, perché è diventata diversa: nel suo consiglio non c’è più nessuno di quelli che chiedevano il prestito”.

• "La materia della matematica è così seria che è bene cogliere ogni occasione per renderla un po' divertente."
• B.Pascal

• 1. conoscere la definizione di sofismo;

2.studiare la storia della comparsa dei sofismi, il loro ruolo nello sviluppo della matematica;

3.considerare esempi di sofismi matematici, trovare errori nel ragionamento;

4.fare un elenco degli errori;

5.inventa i tuoi sofismi.

• Sofisma - (dal greco sophisma, "abilità, abilità, astuta invenzione, trucco") - un'inferenza o un ragionamento che sostanzia una deliberata assurdità, assurdità o paradosso

un'affermazione che contraddice le credenze generalmente accettate. Il sofismo si basa su una violazione deliberata e consapevole delle regole della logica. Qualunque sia il sofisma, contiene sempre uno o più errori mascherati.

• № 1 5=6

Prendiamo l'identità numerica

35+10-45=42+12-54. Togliamo i fattori comuni dei lati sinistro e destro tra parentesi. Otteniamo: 5(7+2-9)=6(7+2-9). Dividiamo entrambi i membri per il fattore comune racchiuso tra parentesi. Otteniamo 5=6

• № 2 2 · 2=5

Abbiamo l'uguaglianza numerica 4:4=5:5. Togliamo il fattore comune tra parentesi in ciascuna parte: 4(1:1)=5(1:1). I numeri tra parentesi sono uguali, quindi 4=5, 2 2=5

• № 3 5=1

Sottrai 3 dai numeri 5 e 1 separatamente per ottenere i numeri 2 e -2. Al quadrato, danno i numeri 4 e 4 uguali, il che significa che anche i numeri originali 5 e 1 devono essere uguali. Dov'è l'errore?

• № 4 4 rubli = 40.000 centesimi

Prendiamo l'uguaglianza 2p.=200k, elevala al quadrato 4p.=40000k. Dov'è l'errore?

• Avendo risolto questi problemi, puoi notare che nei sofismi matematici sono stati commessi i seguenti errori:

1.Divisione per 0 (N. 1)

2. Conclusioni errate dall'uguaglianza delle frazioni (n. 2)

3. Estrazione errata della radice quadrata del quadrato dell'espressione (n. 3)

4. Violazioni delle regole di azione con quantità denominate (n. 4)

Diapositiva 2

Obiettivo del progetto: L'importanza dei sofismi matematici nello sviluppo del pensiero logico degli scolari.

Obiettivi del progetto: Acquisire familiarità con il concetto di sofisma. Considera esempi di sofismi matematici. Condurre uno studio scolastico tra gli studenti delle classi 6a, 7a e 9a. Analizzare i risultati ottenuti. Metodi utilizzati: Studio della letteratura Risoluzione di problemi matematici Raccolta ed elaborazione di dati utilizzando la tecnologia dell'informazione Creazione di una presentazione

Diapositiva 3

Cos'è il sofisma

Sofisma (dal greco sophisma - trucco, invenzione, enigma), una conclusione formalmente apparentemente corretta, ma essenzialmente falsa basata su una selezione deliberatamente errata dei punti di partenza. Tipi di sofismi matematici: Sofismi aritmetici Sofismi algebrici Sofismi geometrici Un errore correttamente compreso è il percorso verso la scoperta di I.P. Pavlov.

Diapositiva 4

Esempi di sofismi algebrici

Esempio 1. 1 sfregamento. = 10.000 k Prendiamo l'uguaglianza corretta: 1 sfregamento. = 100 k. Quadratiamo pezzo per pezzo. Riceveremo: 1 sfregamento. = 10.000 k. Domanda: Qual è l'errore? Risposta: Quadrare le quantità non ha senso. Solo i numeri sono quadrati. Esempio 2 5=6 Proviamo a dimostrare che 5 = 6. A questo scopo prendiamo un'identità numerica: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Prendiamo tra parentesi i divisori comuni delle parti sinistra e destra . Otteniamo: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Dividiamo entrambi i lati di questa uguaglianza per un fattore comune (racchiuso tra parentesi). Otteniamo 5=6 Domanda: Qual è l'errore? Risposta: Il fattore comune di (7 + 2 – 9) è 0 e non puoi dividere per 0.

Diapositiva 5

Esempi di sofismi geometrici

Scomparsa misteriosa Abbiamo un rettangolo arbitrario su cui sono disegnate 13 linee identiche a uguale distanza l'una dall'altra, come mostrato in Fig. 1. Ora “tagliamo” il rettangolo della retta MN passante per l'estremità superiore della prima e per l'estremità inferiore dell'ultima retta. Spostiamo entrambe le metà lungo questa linea e notiamo che invece di 13 linee ora ce ne sono 12. Una linea è scomparsa senza lasciare traccia. Domanda: dove è scomparsa la tredicesima riga? Risposta: La tredicesima linea estendeva ciascuna delle rimanenti di 1/12 della sua lunghezza. “Nuova prova” del teorema di Pitagora Prendiamo un triangolo rettangolo con i cateti aeb, ipotenusa ce angolo acuto  opposto al cateto a. Abbiamo: a = c sin , b = c cos , da cui a2 = c2 sin2, b2 = c2 cos2. Sommando queste uguaglianze per parti, otteniamo: a2 + b2 = c2 (sin2 + cos2). Ma sin2 + cos2 = 1, e quindi a2 + b2 = c2. Domanda: Qual è l'errore? Risposta: non ci sono errori qui. Ma la formula sin2 + cos2 = 1 deriva essa stessa dal teorema di Pitagora. NM Fig. 1

Diapositiva 6

Condurre ricerche

Argomento dello studio: "Trovare errori nella prova del sofismo" Metodo di ricerca - esperimento Partecipanti allo studio - studenti delle classi 6, 7, 9 della scuola Obiettivo dello studio: la possibilità di trovare errori nella prova del sofismo

Diapositiva 7

Trovare errori nella dimostrazione dei sofismi

Sofismi algebrici Esempio 1.1 p. = 10.000 k Esempio 2.5 = 6 Esempio 3.2 + 2 = 5 Esempio 4. Qualsiasi numero è uguale alla metà Esempio 5. La distanza dalla Terra al Sole è uguale allo spessore di un capello Esempio 6. Qualsiasi numero = 0 Sofismi geometrici Esempio 1. Scomparsa misteriosa. Esempio 2. Terra e arancione. Esempio 3. Due perpendicolari. Esempio 4. “Nuova dimostrazione” del teorema di Pitagora.

Diapositiva 8

Errori fondamentali nei sofismi

Divisione per 0; conclusioni errate dall'uguaglianza delle frazioni; estrazione errata della radice quadrata del quadrato di un'espressione; violazione delle regole di azione con quantità denominate; confusione con i concetti di “uguaglianza” ed “equivalenza” rispetto agli insiemi; effettuare trasformazioni su oggetti matematici che non hanno senso; transizione ineguale da una disuguaglianza all'altra; conclusioni e calcoli basati su disegni costruiti in modo errato; errori che si verificano durante operazioni con serie infinite e passaggio al limite.

• Argomento della lezione
• "Sofismi matematici"

• Scopo della lezione:
• Approfondisci la tua conoscenza della matematica. È interessante e organizzato per testare le conoscenze dei presenti in matematica.
• 2. Sviluppa logica, immaginazione, creatività.
• 3. Influenzare l'attività cognitiva dei colleghi verso la sua intensificazione.

• I sofismi sono la prova di un'affermazione falsa e l'errore nella dimostrazione è abilmente mascherato

• Sofismi è una parola di origine greca e tradotta significa enigma, un'astuta invenzione. I sofismi matematici sono esempi di tali errori nel ragionamento matematico, quando, sebbene il risultato sia ovviamente errato, l'errore che porta ad esso è ben mascherato.

• I sofismi includono la prova che Achille, correndo 10 volte più veloce di una tartaruga, non sarà in grado di raggiungerla.
• Lascia che la tartaruga sia 100 m davanti ad Achille.
• Quindi Achille percorrerà questi 100 m, la tartaruga sarà 10 m davanti a lui.
• Achille percorrerà questi 10 m e la tartaruga sarà 1 m avanti, ecc.
• La distanza tra loro diminuirà, ma non arriverà mai a zero. Quindi Achille non raggiungerà mai la tartaruga

• I sofisti sono un gruppo di filosofi greci antichi del IV-V secolo. aC, che raggiunse una grande abilità nella logica.
• Sofismi nella storia della matematica
• hanno svolto un ruolo significativo; hanno contribuito a una comprensione più profonda dei concetti e dei metodi della matematica.

• L’accademico Ivan Petrovich Pavlov ha affermato che “un errore correttamente compreso è la via verso la rivelazione”. La comprensione degli errori nel ragionamento matematico ha spesso contribuito allo sviluppo della matematica. A questo proposito, la storia dell'assioma di Euclide sulle rette parallele è particolarmente istruttiva.

• Esempi
• Se le metà sono uguali, allora gli interi sono uguali.
• Mezzo pieno è uguale a mezzo vuoto, pieno è uguale a vuoto

• Trova errori nel seguente ragionamento:
• Compito n. 1.
• Quattro per quattro fa venticinque.
• Prova:
• 16:16=25:25
• 16 (1:1)=25(1:1)
• 4*4=25
• Risposta: L'errore è che la legge distributiva della moltiplicazione viene automaticamente trasferita alla divisione, il che non è corretto

• Problema n.2
• Da rub.=10000 Da kopecks.
• Prova:
• Da strofinare. = 100 C cop.
• 1 strofinamento. = 100 centesimi
• Risposta: È impossibile moltiplicare i rubli per 1 rublo, poiché non esistono "rubli quadrati" e "copechi quadrati"

• Problema pratico
• Dopo il nuovo anno, il prezzo del prodotto è aumentato due volte del 20%. Di quale percentuale è aumentato il prezzo del prodotto dopo due aumenti consecutivi?
• Soluzione: il costo della merce è di rubli.
• dopo 1 aumento - 1,2 e strofinare.
• dopo 2 aumenti – 1,44 e strofinare.
• Conclusione: il prezzo del prodotto è aumentato del 44%.

• Due uguaglianze qualsiasi possono essere moltiplicate termine per termine. Applichiamo questa affermazione alle uguaglianze scritte sopra e otteniamo nuove uguaglianze
• Da strofinare. = 10000 centesimi

• Risposta: La domanda da porsi è: “Vivi in ​​questa città?”
• Risposta: "Sì" - indipendentemente da chi risponde - residente nella città A o residente nella città B significa che ti trovi nella città A. Risposta: "No" in qualsiasi condizione significherà che ti trovi nella città B.

• Problema logico - scherzo:
• Due città A e B si trovano nelle vicinanze. I residenti di entrambe le città spesso si visitano. È noto che tutti i residenti della città A dicono sempre la verità e i residenti della città B mentono sempre.
• Quale domanda dovresti porre a un residente che incontri in una delle città (non sai quale), in modo che dalla sua risposta "Sì" o "No" puoi immediatamente determinare in quale città ti trovi.

• I sofismi matematici possono essere molto utili. L'analisi dei sofismi sviluppa il pensiero logico, aiuta l'assimilazione consapevole del materiale insegnato, favorisce la riflessione, l'osservazione e un atteggiamento critico nei confronti di ciò che si sta studiando. Inoltre, l'analisi dei sofismi è affascinante. Gli studenti percepiscono i sofismi con grande interesse e quanto più difficile è il sofisma, tanto più soddisfacente è la sua analisi.

• Questo lavoro può essere particolarmente interessante per classi aggiuntive per studenti delle scuole superiori. La conoscenza della matematica a livello primario e secondario è ancora limitata. Tuttavia, in classi aggiuntive puoi introdurre gli studenti a semplici sofismi matematici basati sulla violazione delle leggi dell'azione. Inoltre, se si tiene conto che gli studenti delle scuole primarie e secondarie tendono a reagire emotivamente all'assurdità delle affermazioni, la forza di assimilazione di un fatto matematico aumenta notevolmente

• In termini pedagogici, i sofismi matematici dovrebbero essere usati non tanto per prevenire errori, ma per verificare il grado di coscienza di padroneggiare la materia. È necessario iniziare con i sofismi più semplici che gli studenti possano comprendere, complicando gradualmente i compiti man mano che gli studenti accumulano conoscenze matematiche.
• (clicca sull'immagine)

Title="Esempio 10. Di due numeri disuguali, il primo è sempre maggiore del secondo. Siano a e b numeri arbitrari e a ≠ b. Abbiamo: (a – b)2 > 0, cioè a2 – 2ab – b2 > 0, oppure a2 + b2 > 2ab Aggiungiamo – 2b2 ad entrambi i membri di questa disuguaglianza. Otteniamo: a2 – b2 > 2ab – 2b2, oppure (.">!}

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Presentazione sul tema: Sofismi matematici

Diapositiva n.1

Descrizione diapositiva:

Diapositiva n.2

Descrizione diapositiva:

Cos'è il sofisma? Un errore correttamente compreso è il percorso verso la scoperta dell'IP. I sofismi di Pavlov (dal greco sophisma - trucco, invenzione, enigma), formalmente apparentemente corretti, ma essenzialmente una conclusione falsa basata su una selezione deliberatamente errata dei punti di partenza. Qualunque sia il sofisma, contiene necessariamente uno o più errori mascherati. Soprattutto spesso nei sofismi matematici vengono eseguite azioni “proibite” o non vengono prese in considerazione le condizioni di applicabilità di teoremi, formule e regole. A volte il ragionamento viene effettuato utilizzando un disegno errato o si basa sull'“ovvietà” che porta a conclusioni errate. Ci sono sofismi che contengono altri errori.

Diapositiva n.3

Descrizione diapositiva:

Nella storia dello sviluppo della matematica, i sofismi hanno avuto un ruolo significativo. Hanno contribuito ad aumentare il rigore del ragionamento matematico e hanno contribuito a una comprensione più profonda dei concetti e dei metodi della matematica. Il ruolo dei sofismi nello sviluppo della matematica è simile al ruolo svolto dagli errori involontari nella ricerca matematica, commessi anche da matematici eccezionali. È stata la chiarificazione degli errori nel ragionamento matematico che spesso ha contribuito allo sviluppo della matematica. Forse la storia dell'assioma di Euclide sulle rette parallele è particolarmente istruttiva a questo riguardo. Questo assioma può essere formulato nel modo seguente: per un punto dato esterno a una linea data non si può tracciare più di una linea retta parallela a quella data (quella linea retta parallela a quella data può essere tracciata - questo è dimostrato) . Per più di duemila anni hanno cercato di dimostrare questa affermazione, tenendo conto degli altri assiomi della geometria, ma tutti i tentativi non hanno avuto successo. Le “prove” ottenute si sono rivelate errate. Eppure, nonostante la fallacia di queste “dimostrazioni”, esse apportarono grandi benefici allo sviluppo della geometria. Possiamo dire che hanno preparato uno dei più grandi risultati nel campo della geometria e di tutta la matematica: la creazione della geometria non euclidea. L'onore di sviluppare una nuova geometria appartiene al nostro grande connazionale N.I. Lobachevskij e il matematico ungherese Janos Bolyai. N.I. Lo stesso Lobachevskij tentò per primo di dimostrare l'assioma delle parallele, ma presto si rese conto che ciò non era possibile. E il percorso che Lobachevskij ha seguito per convincersene lo ha portato alla creazione di una nuova geometria. Questo notevole contributo alla matematica fu uno di quelli che glorificarono la scienza russa.

Diapositiva n.4

Descrizione diapositiva:

L'analisi dei sofismi sviluppa innanzitutto il pensiero logico, cioè infonde le capacità di pensiero corretto. Individuare un errore significa realizzarlo, e la consapevolezza dell'errore impedisce che si ripeta in altri ragionamenti matematici. Ciò che è particolarmente importante, l'analisi dei sofismi aiuta l'assimilazione consapevole del materiale studiato, sviluppa l'osservazione, la riflessione e un atteggiamento critico nei confronti di ciò che si sta studiando. I sofismi matematici insegnano ad andare avanti con attenzione e cautela, a monitorare attentamente l'accuratezza delle formulazioni, la correttezza di note e disegni e l'ammissibilità delle generalizzazioni. Tutto ciò è necessario e importante. Affascinante, infine, l’analisi dei sofismi. Quanto più difficile è il sofisma, tanto più soddisfacente è la sua analisi. In che modo sono utili i sofismi e cosa danno?

Diapositiva n.5

Descrizione diapositiva:

Diapositiva n.6

Descrizione diapositiva:

Sofismi algebrici Ecco alcuni risultati della risoluzione dei sofismi: (per la visualizzazione dettagliata cliccare sulla riga selezionata) Esempio 1.1 p. = 10.000 k Esempio 2.5 = 6 Esempio 3.4 = 8 Esempio 4.2 · 2 = 5 Esempio 5.5 = 1 Esempio 6.4 = 5 Esempio 7. Qualsiasi numero è uguale alla metà Esempio 8. La distanza dalla Terra al Sole è uguale allo spessore di un capello Esempio 9. Qualsiasi numero = 0 Esempio 10. Di due numeri disuguali, il primo è sempre maggiore del secondo

Diapositiva n.7

Descrizione diapositiva:

Esempio 1.1 pag. = 10.000 k Prendiamo l'uguaglianza corretta: 1 sfregamento. = 100 k. Quadratiamo pezzo per pezzo. Riceveremo: 1 sfregamento. = 10.000 k.************************************************ ***** ********************************************* ****Domanda: Qual è l'errore? Risposta (premere “Invio” "): Quadrare le quantità non ha senso. Solo i numeri sono quadrati.

Diapositiva n.8

Descrizione diapositiva:

Proviamo a dimostrare che 5 = 6. A questo scopo prendiamo un'identità numerica: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Prendiamo tra parentesi i divisori comuni delle parti sinistra e destra. Otteniamo: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Dividiamo entrambi i membri di questa uguaglianza per un fattore comune (racchiuso tra parentesi). Otteniamo 5 = 6.****************************. *********** *************************************** * ***Domanda: Qual è l'errore? Risposta (premi "Invio"): Il fattore comune (7 + 2 – 9) è 0 e non puoi dividere per 0.

Diapositiva n.9

Descrizione diapositiva:

Diapositiva n.10

Descrizione diapositiva:

Esempio 4.2 · 2 = 5 Abbiamo un'uguaglianza numerica (corretta): 4: 4 = 5: 5. Prendiamo il suo divisore comune tra parentesi in ogni parte. Otteniamo: 4 (1: 1) = 5 (1: 1) I numeri tra parentesi sono uguali, quindi 4 = 5 o 2 2 = 5.***************. ****************************************** ******** *********Domanda: Dov'è l'errore qui? Risposta (premere "Invio"): È stato commesso un errore nel posizionare il fattore comune tra parentesi sui lati sinistro e destro dell'identità 4: 4 = 5 : 5.

Diapositiva n.11

Descrizione diapositiva:

Dai numeri 5 e 1 sottraiamo separatamente lo stesso numero 3. Otteniamo i numeri 2 e – 2. Quando questi numeri sono al quadrato, otteniamo i numeri uguali 4 E 4. Ciò significa che anche i numeri originali 5 e 1 devono essere uguale. ******************************************* ***** **************************Domanda: Qual è l'errore? Risposta (premere “Invio”): Dall'uguaglianza dei quadrati di due numeri non ne consegue che questi numeri stessi siano uguali.

Diapositiva n.12

Descrizione diapositiva:

Abbiamo un'uguaglianza numerica (corretta): 16 – 36 = 25 – 45; 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2; 4 – 4,5 = 5 – 4,5; 4 = 5. ********************************************** ******** **************************************Domanda: Cos'è l'errore? Rispondi (premi “Invio”): (4 – 4.5)2 = (5 – 4.5)2 ↔ |4 – 4.5| = |5 – 4,5|. Esempio 6.4 = 5

Diapositiva n.13

Descrizione diapositiva:

Esempio 7. Qualsiasi numero è uguale alla metà. Prendiamo due numeri uguali a e b, a = b. Moltiplichiamo entrambi i membri di questa uguaglianza per a e poi sottraiamoli dai prodotti rispetto a b2. Otteniamo: a2 – b2 = ab – b2, oppure (a + b) (a – b) = b (a – b), quindi a + b = b, oppure a + a = a, poiché b = a , 2a = un, un = . **************************************** ********** ************************Domanda: Qual è l'errore? Risposta (premi "Invio"): Non puoi dividere in (a – b), poiché (a-b) = 0.

Diapositiva n.14

Descrizione diapositiva:

Esempio 8. La distanza dalla Terra al Sole è uguale allo spessore di un capello. Sia a (m) la distanza dalla Terra al Sole e b (m) sia lo spessore di un capello. Indichiamo la loro media aritmetica con v. Abbiamo: a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Moltiplicando le ultime due uguaglianze per parti, otteniamo: a2 – 2av = b2 – 2bv. Aggiungiamo v2 a ciascuna parte. Otteniamo: a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, oppure (a – v)2 = (b – v)2, cioè (a – v) = (b – v), e quindi a = b. **************************************** ********** ************************Domanda: Dov'è l'errore qui? Risposta (premere "Invio"): Errore come nell'esempio n. 6.

Diapositiva n.15

Descrizione diapositiva:

Esempio 9. Qualsiasi numero = 0 Qualunque sia il numero a, sono vere le seguenti uguaglianze: (+a)2 = a2 e (– a)2 = a2. Pertanto, (+a)2 = (– a)2, che significa +a = – a, ovvero 2a = 0, e quindi a = 0. **************** * *************************************** *********** *******Domanda: Qual è l'errore? Risposta (premere "Invio"):

Diapositiva n.16

Descrizione diapositiva:

Esempio 10. Di due numeri disuguali, il primo è sempre maggiore del secondo. Siano a e b numeri arbitrari e a ≠ b. Abbiamo: (a – b)2 > 0, cioè a2 – 2ab – b2 > 0, oppure a2 + b2 > 2ab Ad entrambi i lati di questa disuguaglianza aggiungiamo – 2b2. Otteniamo: a2 – b2 > 2ab – 2b2, oppure (a + b) (a – b) > 2b (a – b). Dopo aver diviso entrambi i membri per (a – b) abbiamo: a + b > 2b, il che significa che a > b. **************************************** ********** ************************Domanda: Dove è stato commesso l'errore? Risposta (premere “Invio”): Quando si dividono entrambi i membri della disuguaglianza (a + b) (a – b) > 2b (a – b) per (a – b) il segno della disuguaglianza può cambiare al contrario (se a – b< 0).

Diapositiva n.17

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Sofismi geometrici Ecco alcuni esempi di sofismi geometrici: (per la visione dettagliata cliccare sulla riga selezionata) Esempio 1. Scomparsa misteriosa. Esempio 2. Terra e arancione Esempio 4. Due perpendicolari Esempio 5. “Nuova dimostrazione” del teorema di Pitagora

Diapositiva n.18

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Esempio 1. Scomparsa misteriosa Abbiamo un rettangolo arbitrario su cui sono disegnate 13 linee identiche a uguale distanza l'una dall'altra, come mostrato nella Figura 1. Ora "tagliamo" il rettangolo con una linea retta MN passante per l'estremità superiore della prima e l'estremità inferiore dell'ultima riga. Spostiamo entrambe le metà lungo questa linea e notiamo che invece di 13 linee ora ce ne sono 12. Una linea è scomparsa senza lasciare traccia. **************************************** ********** ************************Domanda: dove è scomparsa la tredicesima riga Risposta (premere "Invio"):

Diapositiva n.19

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Esempio 2. La Terra e l'arancia Immaginiamo che il globo sia coperto da un cerchio lungo l'equatore e che l'arancia sia similmente avvolta attorno al suo cerchio massimo. Successivamente, immagina che la circonferenza di ciascun cerchio sia allungata di 1 m. Quindi i cerchi rimarranno indietro rispetto alla superficie dei corpi e formeranno uno spazio vuoto*********************************** ************* ************************************* *******Domanda: Dove sarà più grande il divario?: vicino a un'arancia o vicino alla Terra? Risposta (premi "Invio"): Sia la circonferenza del globo = C e la circonferenza di un'arancia = metri . Allora il raggio della Terra è R = C/2 e il raggio dell'arancia è r = c/2. Dopo aver aggiunto 1 metro ai raggi, la circonferenza del cerchio terrestre sarà C + 1, e quella dell'arancia sarà c + 1. I loro raggi, rispettivamente, saranno: (C + 1)/2 e (c + 1)/2. Se sottraiamo quelli vecchi dai nuovi raggi, otteniamo la stessa cosa in entrambi i casi (C + 1)/2 - C/2 = 1/2 - per la Terra, (c + 1)/2 - c/. 2 = 1/2 - per un'arancia Quindi, la Terra e l'arancia hanno lo stesso spazio di 1/2 metro (circa 16 cm).

Diapositiva n.20

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Durante il viaggio, sul fondo della nave di legno si è formato un foro rettangolare lungo 13 cm e largo 5 cm, ad es. area del foro = 65 cm2. Il carpentiere della nave prese un pezzo di legno quadrato con un lato di un quadrato di 8 cm (cioè un'area = 64 cm2), lo tagliò in linea retta in quattro parti A, B, C, D come mostrato nella Figura 2, e poi piegò li in modo che il risultato fosse un rettangolo che corrispondeva esattamente al foro, vedi Figura 3. Con questo rettangolo sigillò il foro. Si è scoperto che il falegname è riuscito a trasformare un quadrato di 64 cm2 in un rettangolo con un'area di 65 cm2.************************ ******** **********************Domanda: Come è potuto succedere? Risposta (premi "Invio"): È facile vederlo? i triangoli A e B risultanti quando si taglia un quadrato sono uguali tra loro. Anche i trapezi C e D sono uguali La base minore dei trapezi e il cateto minore dei triangoli sono pari a 3 cm e quindi devono coincidere quando si unisce il triangolo A con il trapezio C e il triangolo B con il trapezio D. Qual è il segreto. ? Il fatto è che i punti G, H, E non giacciono sulla stessa linea retta, tan EHK = 8/3 e tan HGJ = 5/2. Poiché 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0, allora EHK > HGJ. Allo stesso modo, la linea EFG è interrotta. L'area del rettangolo risultante è effettivamente 65 cm2, ma al suo interno è presente una fessura a forma di parallelogramma, la cui area è esattamente 1 cm2. La larghezza dello spazio maggiore è 5 – 3 – (5 3)/8 = 1/8 cm. Pertanto, il falegname dovrà ancora coprire un piccolo spazio.

Diapositiva n.21

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Esempio 4. Due perpendicolari Proviamo a “dimostrare” che per un punto esterno ad una retta si possono tracciare due perpendicolari a questa retta. A questo scopo, prendiamo il triangolo ABC (Figura 4). Sui lati AB e BC di questo triangolo, come sui diametri, costruiremo dei semicerchi. Questi semicerchi intersechino il lato AC nei punti E e D. Colleghiamo con rette i punti E e D al punto B. L'angolo AEB è una retta, come inscritta, secondo il diametro; Anche l'angolo BDC è giusto. Pertanto BE AC e BD AC. Due perpendicolari alla linea AC passano per il punto B. **************************************** **Domanda: qual è l'errore? (premere “Invio”): Il ragionamento si basava su un disegno errato. In realtà i semicerchi intersecano il lato AC in un punto, cioè BE è uguale a BD.

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"Avanta+. Matematica". – Mosca, ed. “Avanta +”, 1998. “BEKM – 2007”. – Mosca, 2007. Ignatiev E.I. “Esperto di matematica. Compiti divertenti, giochi, trucchi, paradossi”. – Mosca, ed. "Omega", 1994. Nagibin F.F., Kanin E.S. "Scatola della matematica" – Mosca, ed. "Illuminismo", 1988.