καθηγητής μαθηματικών

Livadiysky UVK

Posternakova Olga Glebovna

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΟΦΙΣΤΙΣΜΟΥ

Σοφιστική - (από το ελληνικό sophisma - τέχνασμα, τέχνασμα, επινόηση, παζλ), συμπέρασμα ή συλλογισμός που τεκμηριώνει κάποιον σκόπιμο παραλογισμό, παραλογισμό ή παράδοξη δήλωση που έρχεται σε αντίθεση με τις γενικά αποδεκτές ιδέες.

• Οι σοφιστές ήταν μια ομάδα αρχαίων Ελλήνων φιλοσόφων του 4ου-5ου αιώνα π.Χ. που πέτυχαν μεγάλη δεξιότητα στη λογική. Την περίοδο της παρακμής των ηθών της αρχαίας ελληνικής κοινωνίας (5ος αιώνας) εμφανίστηκαν οι λεγόμενοι δάσκαλοι της ευγλωττίας, οι οποίοι θεωρούσαν και αποκαλούσαν στόχο της δραστηριότητάς τους την απόκτηση και διάδοση της σοφίας, με αποτέλεσμα να ονομάσουν οι ίδιοι σοφιστές.

• Οι πιο γνωστές είναι οι δραστηριότητες των ανώτερων σοφιστών, μεταξύ των οποίων ο Πρωταγόρας των Αβδήρων, ο Γοργίας ο Λεοντύπος, ο Ιππίας της Ήλιδας και ο Πρόντις της Κέως.

• Ο διάσημος επιστήμονας και φιλόσοφος Σωκράτης ήταν αρχικά σοφιστής, συμμετείχε ενεργά σε διαμάχες και συζητήσεις μεταξύ των σοφιστών, αλλά σύντομα άρχισε να επικρίνει τις διδασκαλίες των σοφιστών και τη σοφιστική γενικότερα. Η φιλοσοφία του Σωκράτη βασίστηκε στο γεγονός ότι η σοφία αποκτάται μέσω της επικοινωνίας, μέσω της συνομιλίας.

• Απαγορευμένες ενέργειες.
• παραμέληση των συνθηκών των θεωρημάτων. τύποι και κανόνες·
• λανθασμένο σχέδιο?
• βασίζεται σε λανθασμένα συμπεράσματα.

ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΤΟΥ ΣΟΦΙΣΤΙΣΜΟΥ

• Η επιτυχία του σοφισμού καθορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

α + β + γ + δ + ε + στ ,

όπου (a + c + e) ​​είναι ένας δείκτης της δύναμης του διαλεκτικού, (b + d + f) είναι ένας δείκτης της αδυναμίας του θύματός του.

• α - αρνητικές ιδιότητες του προσώπου (έλλειψη ανάπτυξης της ικανότητας διαχείρισης της προσοχής). β - θετικές ιδιότητες ενός ατόμου (η ικανότητα να σκέφτεται ενεργά) γ - ένα συναισθηματικό στοιχείο στην ψυχή ενός ειδικευμένου διαλεκτικού δ - ιδιότητες που ξυπνούν στην ψυχή του θύματος του σοφιστή και σκοτεινιάζουν τη διαύγεια της σκέψης στον ε - κατηγορηματικό τόνο της που δεν επιτρέπει αντίρρηση, ορισμένες εκφράσεις του προσώπου στ - παθητικότητα του ακροατή
• α - αρνητικές ιδιότητες του προσώπου (έλλειψη ανάπτυξης της ικανότητας διαχείρισης της προσοχής).
• β - θετικές ιδιότητες του προσώπου (ικανότητα ενεργητικής σκέψης)
• γ - το συναισθηματικό στοιχείο στην ψυχή ενός ειδικευμένου διαλεκτικού
• δ - ιδιότητες που ξυπνούν στην ψυχή του θύματος του σοφιστή και σκοτεινιάζουν τη διαύγεια της σκέψης του
• e - κατηγορηματικός τόνος που δεν επιτρέπει αντίρρηση, ορισμένες εκφράσεις του προσώπου
• στ - παθητικότητα ακροατή

• Το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο όμοιων αριθμών είναι μηδέν.
• Ας πάρουμε έναν αυθαίρετο μη μηδενικό αριθμό ΕΝΑκαι γράψτε την εξίσωση x = α.Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη με (-4a), παίρνουμε -4ax = -4a 2. Προσθήκη και στις δύο πλευρές της τελευταίας ισότητας Χ 2 και μετακινώντας τον όρο -4a 2 προς τα αριστερά με το αντίθετο πρόσημο, παίρνουμε x 2 -4ax + 4a 2 = x 2, από όπου, παρατηρώντας ότι υπάρχει ένα πλήρες τετράγωνο στα αριστερά, έχουμε
• (x-2a) 2 = x 2, x-2a = x.
• Αντικατάσταση στην τελευταία ισότητα Χμε ίσο αριθμό a, παίρνουμε a-2a = a, ή -a = a,απ' όπου 0 = a + a,
• δηλαδή το άθροισμα δύο αυθαίρετων πανομοιότυπων αριθμών ΕΝΑισούται με 0.

• Όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι
• Ας αποδείξουμε ότι 5=6.
• Ας γράψουμε την ισότητα:
• 35+10-45=42+12-54
• Ας βάλουμε τα γενικά εκτός παρένθεσης
• πολλαπλασιαστές: 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
• Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας με
• κοινός παράγοντας (είναι σε παρένθεση):
• 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
• Που σημαίνει, 5=6 .

• «Δύο δύο ίσον πέντε».
• Ας συμβολίσουμε 4=a, 5=b, (a+b)/2=d. Έχουμε: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. Ας πολλαπλασιάσουμε τις δύο τελευταίες ισότητες με μέρη. Παίρνουμε: 2da-a*a=2db-b*b. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας που προκύπτει επί –1 και ας προσθέσουμε d*d στα αποτελέσματα. Θα έχουμε: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, ή (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), από όπου a-d=b-d και a=b, δηλ. 2*2=5

• « Ένα σπίρτο είναι διπλάσιο από έναν τηλεγραφικό στύλο».
• Αφήνω και dm- μήκος αγώνα και β dm -μήκος πόλου. Σημειώνουμε τη διαφορά μεταξύ b και a με c.
• Έχουμε b - a = c, b = a + c. Πολλαπλασιάζουμε αυτές τις δύο ισότητες με μέρη και βρίσκουμε: b 2 - ab = ca + c 2. Αφαιρέστε bc και από τις δύο πλευρές. Παίρνουμε: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc, ή b(b - a - c) = - c(b - a - c), από όπου: b = - c, αλλά c = b - a , άρα b = a - b, ή a = 2b.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΟΦΗΣ m

• Ένας απείρως μεγάλος αριθμός ισούται με μηδέν
• Αν η οξεία γωνία αυξηθεί. Πλησιάζοντας το 900 ως όριο, η εφαπτομένη του, όπως είναι γνωστό, αυξάνεται απεριόριστα σε απόλυτη τιμή, παραμένοντας θετική: tan90 0 = +∞.
• Αλλά αν πάρουμε μια αμβλεία γωνία και τη μειώσουμε, φέρνοντάς την πιο κοντά στο 900 ως όριο, τότε η εφαπτομένη της, ενώ παραμένει αρνητική, αυξάνεται επίσης απεριόριστα σε απόλυτη τιμή: tan90 0 = - ∞.
• Ας συγκρίνουμε τους τύπους (1) και (2): - ∞ = +∞

• "Το πιο γρήγορο πλάσμα δεν μπορεί να προσπεράσει το πιο αργό"
• Ο στόλος Αχιλλέας δεν θα προσπεράσει ποτέ την αργή χελώνα. Μέχρι να φτάσει ο Αχιλλέας στη χελώνα, θα προχωρήσει λίγο μπροστά. Θα καλύψει γρήγορα αυτή την απόσταση, αλλά η χελώνα θα πάει λίγο πιο πέρα. Και ούτω καθεξής επί άπειρον. Κάθε φορά που ο Αχιλλέας φτάνει στο σημείο που ήταν πριν η χελώνα, θα είναι τουλάχιστον λίγο μπροστά.

• «Η σοφιστεία του Κρατύλου»
• Ο διαλεκτικός Ηράκλειτος, έχοντας διακηρύξει τη θέση «τα πάντα ρέουν», εξήγησε ότι δεν μπορεί κανείς να μπει στο ίδιο ποτάμι (εικόνα της φύσης) δύο φορές, γιατί όταν εισέλθει την επόμενη φορά, θα κυλήσει άλλο νερό πάνω του. Ο μαθητής του Cratylus έβγαλε άλλα συμπεράσματα από τη δήλωση του δασκάλου: δεν μπορείς να μπεις στο ίδιο ποτάμι ούτε μία φορά, γιατί μέχρι να μπεις, θα αλλάξει ήδη.

• «Αυτός που καθόταν σηκώθηκε. όποιος σηκωθεί όρθιος στέκεται. Επομένως, αυτός που κάθεται είναι όρθιος».
• «Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος. Ο άνθρωπος δεν είναι ο ίδιος με τον Σωκράτη. Άρα ο Σωκράτης είναι κάτι άλλο από τον Σωκράτη».
• «Για να δούμε, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να έχουμε μάτια, γιατί χωρίς το δεξί μάτι βλέπουμε, χωρίς το αριστερό βλέπουμε επίσης. Εκτός από δεξιά και αριστερά δεν έχουμε άλλα μάτια. Επομένως είναι σαφές ότι τα μάτια δεν είναι απαραίτητα για την όραση.»
• «Αυτός που λέει ψέματα μιλάει για το εν λόγω θέμα ή δεν μιλά για αυτό. αν μιλάει για δουλειές, δεν λέει ψέματα. αν δεν μιλάει για δουλειές, μιλάει για κάτι που δεν υπάρχει, και είναι αδύνατο όχι μόνο να πει ψέματα γι' αυτό, αλλά ακόμη και να το σκεφτεί και να μιλήσει».

• «Το ίδιο πράγμα δεν μπορεί να έχει κάποια περιουσία και να μην την έχει. Η κοστολόγηση προϋποθέτει ανεξαρτησία, ενδιαφέρον και υπευθυνότητα. Το συμφέρον προφανώς δεν είναι ευθύνη και η ευθύνη δεν είναι ανεξαρτησία. Αποδεικνύεται, σε αντίθεση με ό,τι ειπώθηκε στην αρχή, ότι η κοστολόγηση περιλαμβάνει ανεξαρτησία και έλλειψη ανεξαρτησίας, υπευθυνότητα και ανευθυνότητα».

• «Η μετοχική εταιρεία, που κάποτε λάμβανε δάνειο από το κράτος, τώρα δεν το χρωστάει, αφού έχει γίνει διαφορετική: δεν υπάρχει πλέον κανένας από αυτούς που ζήτησαν το δάνειο στο διοικητικό συμβούλιο της».

• «Το θέμα των μαθηματικών είναι τόσο σοβαρό που είναι καλό να εκμεταλλευόμαστε κάθε ευκαιρία για να το κάνουμε λίγο διασκεδαστικό».
• Β. Πασκάλ

• 1. εξοικειωθείτε με τον ορισμό του σοφισμού.

2. μελέτη της ιστορίας της εμφάνισης των σοφισμών, του ρόλου τους στην ανάπτυξη των μαθηματικών.

3. Εξετάστε παραδείγματα μαθηματικών σοφισμών, βρείτε λάθη στο συλλογισμό.

4. Κάντε μια λίστα σφαλμάτων.

5.Φτιάξε τους δικούς σου σοφισμούς.

• σοφιστεία - (από το ελληνικό sophisma, «δεξιότητα, επιδεξιότητα, πονηρή εφεύρεση, τέχνασμα») - συμπέρασμα ή συλλογισμός που τεκμηριώνει κάποιο σκόπιμο παραλογισμό, παραλογισμό ή παράδοξο

μια δήλωση που έρχεται σε αντίθεση με τις γενικά αποδεκτές πεποιθήσεις. Η σοφιστεία βασίζεται σε μια σκόπιμη, συνειδητή παραβίαση των κανόνων της λογικής. Όποια και αν είναι η σοφιστεία, περιέχει πάντα ένα ή περισσότερα συγκαλυμμένα λάθη.

• № 1 5=6

Ας πάρουμε την αριθμητική ταυτότητα

35+10-45=42+12-54. Ας βγάλουμε τους κοινούς παράγοντες της αριστερής και της δεξιάς πλευράς εκτός παρενθέσεων. Παίρνουμε: 5(7+2-9)=6(7+2-9). Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με τον κοινό παράγοντα που περικλείεται σε παρένθεση. Παίρνουμε 5=6

• № 2 2 · 2=5

Έχουμε την αριθμητική ισότητα 4:4=5:5. Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες σε κάθε μέρος: 4(1:1)=5(1:1). Οι αριθμοί στις αγκύλες είναι ίσοι, άρα 4=5, 2 2=5

• № 3 5=1

Αφαιρέστε το 3 από τους αριθμούς 5 και 1 χωριστά για να λάβετε τους αριθμούς 2 και -2. Όταν τετραγωνιστούν, δίνουν ίσους αριθμούς 4 και 4, που σημαίνει ότι οι αρχικοί αριθμοί 5 και 1 πρέπει επίσης να είναι ίσοι. Πού είναι το σφάλμα;

• № 4 4 ρούβλια = 40.000 καπίκια

Ας πάρουμε την ισότητα 2p.=200k, το τετράγωνο 4p.=40000k. Πού είναι το λάθος;

• Έχοντας λύσει αυτά τα προβλήματα, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι έγιναν τα ακόλουθα λάθη σε μαθηματικούς σοφισμούς:

1.Διαίρεση με το 0 (Νο 1)

2. Λανθασμένα συμπεράσματα από ισότητα κλασμάτων (αρ. 2)

3. Λανθασμένη εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας του τετραγώνου της έκφρασης (Αρ. 3)

4. Παραβιάσεις των κανόνων δράσης με ονομαστικές ποσότητες (Αρ. 4)

Διαφάνεια 2

Στόχος του έργου: Η σημασία των μαθηματικών σοφισμών στην ανάπτυξη της λογικής σκέψης των μαθητών.

Στόχοι έργου: Εξοικείωση με την έννοια της σοφιστικής. Εξετάστε παραδείγματα μαθηματικών σοφισμών. Διεξαγωγή σχολικής μελέτης μεταξύ μαθητών ΣΤ', Ζ' και Θ' τάξεων. Αναλύστε τα αποτελέσματα που προέκυψαν. Μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν: Μελέτη βιβλιογραφίας Επίλυση μαθηματικών προβλημάτων Συλλογή και επεξεργασία δεδομένων με χρήση τεχνολογίας πληροφοριών Δημιουργία παρουσίασης

Διαφάνεια 3

Τι είναι σοφιστεία

Σοφισμός (από το ελληνικό σοφισμός - κόλπο, επινόηση, παζλ), ένα τυπικά φαινομενικά σωστό, αλλά ουσιαστικά ψευδές συμπέρασμα που βασίζεται σε εσκεμμένα λανθασμένη επιλογή αφετηριών. Είδη μαθηματικών σοφισμών: Αριθμητικά σοφίσματα Αλγεβρικά σοφίσματα Γεωμετρικά σοφίσματα Ένα σωστά κατανοητό λάθος είναι η πορεία προς την ανακάλυψη του Ι.Π. Παβλόφ.

Διαφάνεια 4

Παραδείγματα αλγεβρικών σοφισμών

Παράδειγμα 1. 1 τρίψτε. = 10.000 κ. Ας πάρουμε τη σωστή ισότητα: 1 τρίψιμο. = 100 κ. Ας το τετραγωνίσουμε κομμάτι-κομμάτι. Θα λάβουμε: 1 τρίψιμο. = 10.000 κ. Ερώτηση: Ποιο είναι το λάθος; Απάντηση: Ο τετραγωνισμός των ποσοτήτων δεν έχει νόημα. Μόνο οι αριθμοί είναι στο τετράγωνο. Παράδειγμα 2 5=6 Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι 5 = 6. Για το σκοπό αυτό, ας πάρουμε μια αριθμητική ταυτότητα: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Ας βγάλουμε τους κοινούς συντελεστές του αριστερού και του δεξιού μέρους εκτός παρενθέσεων . Παίρνουμε: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας με έναν κοινό παράγοντα (περικλείεται σε παρένθεση). Παίρνουμε 5=6 Ερώτηση: Ποιο είναι το σφάλμα; Απάντηση: Ο κοινός παράγοντας του (7 + 2 – 9) είναι 0 και δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το 0.

Διαφάνεια 5

Παραδείγματα γεωμετρικών σοφισμών

Μυστηριώδης εξαφάνιση Έχουμε ένα αυθαίρετο ορθογώνιο πάνω στο οποίο σχεδιάζονται 13 ίδιες γραμμές σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο Σχ. 1. Τώρα ας «κόψουμε» το ορθογώνιο της ευθείας γραμμής MN που διέρχεται από το πάνω άκρο της πρώτης και το κάτω άκρο της τελευταίας γραμμής. Μετακινούμε και τα δύο μισά κατά μήκος αυτής της γραμμής και παρατηρούμε ότι αντί για 13 γραμμές υπάρχουν τώρα 12. Μία γραμμή έχει εξαφανιστεί χωρίς ίχνος. Ερώτηση: Πού εξαφανίστηκε η 13η γραμμή; Απάντηση: Η 13η γραμμή επέκτεινε καθεμία από τις υπόλοιπες κατά το 1/12 του μήκους της. «Νέα απόδειξη» του Πυθαγόρειου Θεωρήματος Ας πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη α και β, υποτείνουσα c και οξεία γωνία  απέναντι σκέλος α. Έχουμε: a = c sin , b = c cos , από όπου a2 = c2 sin2, b2 = c2 cos2. Αθροίζοντας αυτές τις ισότητες ανά μέρη, παίρνουμε: a2 + b2 = c2 (sin2 + cos2). Αλλά sin2 + cos2 = 1, και επομένως a2 + b2 = c2. Ερώτηση: Ποιο είναι το σφάλμα; Απάντηση: Δεν υπάρχει κανένα σφάλμα εδώ. Αλλά ο τύπος sin2 + cos2 = 1 προέρχεται από μόνος του με βάση το Πυθαγόρειο θεώρημα. N M Εικ. 1

Διαφάνεια 6

Διεξαγωγή έρευνας

Θέμα της μελέτης: «Εύρεση λαθών στην απόδειξη σοφισμού» Μέθοδος έρευνας - πείραμα Συμμετέχοντες στη μελέτη - μαθητές των τάξεων 6, 7, 9 του σχολείου Στόχος της μελέτης: η δυνατότητα εύρεσης λαθών στην απόδειξη σοφισμού

Διαφάνεια 7

Εύρεση λαθών στην απόδειξη των σοφισμών

Αλγεβρικοί σοφισμοί Παράδειγμα 1.1 σελ. = 10.000 κ. Παράδειγμα 2.5 = 6 Παράδειγμα 3.2 + 2 = 5 Παράδειγμα 4. Κάθε αριθμός είναι ίσος με το μισό του Παράδειγμα 5. Η απόσταση από τη Γη στον Ήλιο είναι ίση με το πάχος μιας τρίχας Παράδειγμα 6. Οποιοσδήποτε αριθμός = 0 Γεωμετρικά σοφίσματα Παράδειγμα 1. Μυστηριώδης εξαφάνιση. Παράδειγμα 2. Γη και πορτοκαλί. Παράδειγμα 3. Δύο κάθετες. Παράδειγμα 4. «Νέα απόδειξη» του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Διαφάνεια 8

Βασικά λάθη στα σοφίσματα

Διαίρεση με 0; Λανθασμένα συμπεράσματα από ισότητα κλασμάτων. εσφαλμένη εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας του τετραγώνου μιας έκφρασης. παραβίαση των κανόνων δράσης με τις ονομασμένες ποσότητες· σύγχυση με τις έννοιες της «ισότητας» και της «ισοδυναμίας» σε σχέση με τα σύνολα. διεξαγωγή μετασχηματισμών σε μαθηματικά αντικείμενα που δεν έχουν νόημα. άνιση μετάβαση από τη μια ανισότητα στην άλλη. συμπεράσματα και υπολογισμοί που βασίζονται σε εσφαλμένα κατασκευασμένα σχέδια. σφάλματα που προκύπτουν κατά τη διάρκεια εργασιών με άπειρες σειρές και μετάβαση στο όριο.

• Θέμα μαθήματος
• «Μαθηματικές σοφισμοί»

• Σκοπός του μαθήματος:
• Εμβαθύνετε τις γνώσεις σας στα μαθηματικά. Είναι ενδιαφέρον και οργανωμένο να δοκιμάσουμε τις γνώσεις των παρόντων στα μαθηματικά.
• 2. Αναπτύξτε τη λογική, τη φαντασία, τη δημιουργικότητα.
• 3. Επηρεάστε τη γνωστική δραστηριότητα των συναδέλφων προς την εντατικοποίησή της.

• Η σοφιστεία είναι απόδειξη μιας ψευδούς δήλωσης και το λάθος στην απόδειξη συγκαλύπτεται επιδέξια

• Η σοφιστεία είναι λέξη ελληνικής προέλευσης και μεταφράζεται σημαίνει παζλ, πονηρή εφεύρεση. Οι μαθηματικοί σοφισμοί είναι παραδείγματα τέτοιων λαθών στον μαθηματικό συλλογισμό, όταν, αν και το αποτέλεσμα είναι προφανώς λανθασμένο, το σφάλμα που οδηγεί σε αυτό είναι καλά συγκαλυμμένο.

• Η σοφιστεία περιλαμβάνει την απόδειξη ότι ο Αχιλλέας, που τρέχει 10 φορές πιο γρήγορα από μια χελώνα, δεν θα μπορέσει να την προλάβει.
• Αφήστε τη χελώνα να είναι 100 μέτρα μπροστά από τον Αχιλλέα.
• Τότε ο Αχιλλέας θα τρέξει αυτά τα 100 μέτρα, η χελώνα θα είναι 10 μέτρα μπροστά του.
• Ο Αχιλλέας θα τρέξει αυτά τα 10 μέτρα και η χελώνα θα είναι 1 μέτρο μπροστά κ.λπ.
• Η απόσταση μεταξύ τους θα μειωθεί, αλλά ποτέ δεν θα μηδενιστεί. Έτσι ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα

• Οι σοφιστές είναι μια ομάδα αρχαίων Ελλήνων φιλοσόφων του 4ου-5ου αιώνα. π.Χ., ο οποίος πέτυχε μεγάλη δεξιότητα στη λογική.
• Σοφισμοί στην ιστορία των μαθηματικών
• έπαιξαν σημαντικό ρόλο· συνέβαλαν στη βαθύτερη κατανόηση των εννοιών και των μεθόδων των μαθηματικών.

• Ο ακαδημαϊκός Ivan Petrovich Pavlov είπε ότι «ένα σωστά κατανοητό λάθος είναι ο δρόμος προς την αποκάλυψη». Η κατανόηση των λαθών στον μαθηματικό συλλογισμό έχει συχνά συμβάλει στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Από αυτή την άποψη, η ιστορία του αξιώματος του Ευκλείδη για τις παράλληλες ευθείες είναι ιδιαίτερα διδακτική.

• Παραδείγματα
• Αν τα μισά είναι ίσα, τότε τα ολόκληρα είναι ίσα.
• Το μισογεμάτο είναι το ίδιο με το μισοάδειο, το γεμάτο είναι το ίδιο με το άδειο

• Βρείτε τα λάθη στο ακόλουθο σκεπτικό:
• Εργασία Νο. 1.
• Τέσσερις φορές τέσσερα είναι είκοσι πέντε.
• Απόδειξη:
• 16:16=25:25
• 16 (1:1)=25(1:1)
• 4*4=25
• Απάντηση: Το σφάλμα είναι ότι ο κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού μεταφέρεται αυτόματα στη διαίρεση, κάτι που είναι λάθος

• Πρόβλημα Νο 2
• Από τρίψιμο = 10000 Από καπίκια.
• Απόδειξη:
• Από τρίψιμο. = 100 C μπάτσος.
• 1 τρίψιμο. = 100 καπίκια
• Απάντηση: Είναι αδύνατο να πολλαπλασιαστεί από ρούβλια κατά 1 ρούβλι, καθώς δεν υπάρχουν "τετραγωνικά ρούβλια" και "τετραγωνικά καπίκια"

• Πρακτικό πρόβλημα
• Μετά το νέο έτος, η τιμή του προϊόντος αυξήθηκε δύο φορές κατά 20%. Κατά πόσο αυξήθηκε η τιμή του προϊόντος μετά από δύο διαδοχικές αυξήσεις;
• Λύση: το κόστος των αγαθών είναι ρούβλια.
• μετά από 1 αύξηση - 1,2 και τρίψτε.
• μετά από 2 αυξήσεις – 1,44 και τρίψτε.
• Συμπέρασμα: η τιμή του προϊόντος αυξήθηκε κατά 44%.

• Οποιεσδήποτε δύο ισότητες μπορούν να πολλαπλασιαστούν ανά όρο. Εφαρμόζοντας αυτή τη δήλωση στις ισότητες που γράφτηκαν παραπάνω, λαμβάνουμε νέες ισότητες
• Από τρίψιμο. = 10000 C καπίκια

• Απάντηση: Η ερώτηση που πρέπει να θέσετε είναι, "Ζείτε σε αυτή την πόλη;"
• Απάντηση: «Ναι» - ανεξάρτητα από το ποιος απαντά - κάτοικος της πόλης Α ή κάτοικος της πόλης Β σημαίνει ότι βρίσκεστε στην πόλη Α. Απάντηση: «Όχι» υπό οποιεσδήποτε συνθήκες θα σημαίνει ότι βρίσκεστε στην πόλη Β.

• Λογικό πρόβλημα - αστείο:
• Δύο πόλεις Α και Β βρίσκονται σε κοντινή απόσταση. Οι κάτοικοι και των δύο πόλεων επισκέπτονται συχνά ο ένας τον άλλον. Είναι γνωστό ότι όλοι οι κάτοικοι της πόλης Α λένε πάντα την αλήθεια και οι κάτοικοι της πόλης Β λένε πάντα ψέματα.
• Ποια ερώτηση πρέπει να κάνετε σε έναν κάτοικο που συναντάτε σε μια από τις πόλεις (δεν ξέρετε ποια), ώστε με την απάντησή του «Ναι» ή «Όχι» να προσδιορίσετε αμέσως σε ποια πόλη βρίσκεστε.

• Οι μαθηματικές σοφιστίες μπορεί να είναι πολύ χρήσιμες. Η ανάλυση των σοφισμών αναπτύσσει τη λογική σκέψη, βοηθά στη συνειδητή αφομοίωση του διδασκόμενου υλικού, ενισχύει τη στοχαστικότητα, την παρατήρηση και την κριτική στάση απέναντι σε αυτό που μελετάται. Επιπλέον, η ανάλυση των σοφισμών είναι συναρπαστική. Οι μαθητές αντιλαμβάνονται τα σοφίσματα με μεγάλο ενδιαφέρον και όσο πιο δύσκολη είναι η σοφιστεία, τόσο πιο ικανοποιητική είναι η ανάλυσή της.

• Αυτή η εργασία μπορεί να είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα για επιπλέον μαθήματα για μαθητές γυμνασίου. Οι γνώσεις των μαθηματικών στην πρωτοβάθμια και δευτεροβάθμια εκπαίδευση είναι ακόμη περιορισμένες. Ωστόσο, σε επιπλέον μαθήματα μπορείτε να μυήσετε τους μαθητές σε απλές μαθηματικές σοφισμούς που βασίζονται στην παραβίαση των νόμων της δράσης. Επιπλέον, αν λάβουμε υπόψη ότι οι μαθητές πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης τείνουν να αντιδρούν συναισθηματικά στο παράλογο των δηλώσεων, η δύναμη της αφομοίωσης ενός μαθηματικού γεγονότος αυξάνεται σημαντικά.

• Με παιδαγωγικούς όρους, οι μαθηματικοί σοφισμοί θα πρέπει να χρησιμοποιούνται όχι τόσο για την πρόληψη λαθών, αλλά για τον έλεγχο του βαθμού συνείδησης της κατάκτησης της ύλης. Πρέπει να ξεκινήσετε με τους απλούστερους σοφισμούς που μπορούν να κατανοήσουν οι μαθητές, περιπλέκοντας σταδιακά τις εργασίες καθώς οι μαθητές συσσωρεύουν μαθηματικές γνώσεις.
• (κάντε κλικ στην εικόνα)

Title="Παράδειγμα 10. Από δύο άνισους αριθμούς, ο πρώτος είναι πάντα μεγαλύτερος από τον δεύτερο. Έστω a και b αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ b. Έχουμε: (a – b)2 > 0, δηλ. a2 – 2ab – b2 > 0, ή a2 + b2 > 2ab. Προσθέτουμε – 2b2 και στις δύο πλευρές αυτής της ανισότητας. Παίρνουμε: a2 – b2 > 2ab – 2b2, ή (">!}

1 από 23

Παρουσίαση με θέμα:Μαθηματικά σοφίσματα

Διαφάνεια αρ. 1

Περιγραφή διαφάνειας:

Διαφάνεια αρ. 2

Περιγραφή διαφάνειας:

Τι είναι η σοφιστεία; Ένα σωστά κατανοητό λάθος είναι η διαδρομή προς την ανακάλυψη της IP. Η Σοφιστική του Παβλόφ (από το ελληνικό sophisma - κόλπο, εφεύρεση, παζλ), τυπικά φαινομενικά σωστό, αλλά ουσιαστικά ψευδές συμπέρασμα που βασίζεται σε εσκεμμένα λανθασμένη επιλογή αφετηριών. Όποια και αν είναι η σοφιστεία, περιέχει αναγκαστικά ένα ή περισσότερα συγκαλυμμένα λάθη. Ιδιαίτερα συχνά στα μαθηματικά σοφίσματα εκτελούνται «απαγορευμένες» ενέργειες ή δεν λαμβάνονται υπόψη οι προϋποθέσεις εφαρμογής θεωρημάτων, τύπων και κανόνων. Μερικές φορές ο συλλογισμός εκτελείται χρησιμοποιώντας ένα λανθασμένο σχέδιο ή βασίζεται σε «προφανές» που οδηγεί σε λανθασμένα συμπεράσματα. Υπάρχουν σοφισμοί που περιέχουν άλλα λάθη.

Διαφάνεια αρ. 3

Περιγραφή διαφάνειας:

Στην ιστορία της ανάπτυξης των μαθηματικών, οι σοφισμοί έπαιξαν σημαντικό ρόλο. Συνέβαλαν στην αύξηση της αυστηρότητας του μαθηματικού συλλογισμού και συνέβαλαν στη βαθύτερη κατανόηση των εννοιών και των μεθόδων των μαθηματικών. Ο ρόλος των σοφισμών στην ανάπτυξη των μαθηματικών είναι παρόμοιος με τον ρόλο που διαδραματίζουν ακούσια λάθη στη μαθηματική έρευνα, που γίνονται ακόμη και από εξαιρετικούς μαθηματικούς. Ήταν η διευκρίνιση των λαθών στον μαθηματικό συλλογισμό που συχνά συνέβαλε στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Ίσως η ιστορία του αξιώματος του Ευκλείδη για τις παράλληλες ευθείες είναι ιδιαίτερα διδακτική από αυτή την άποψη. Αυτό το αξίωμα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: μέσα από ένα δεδομένο σημείο που βρίσκεται έξω από μια δεδομένη ευθεία, δεν μπορούν να σχεδιαστούν περισσότερες από μία ευθείες παράλληλες προς τη δεδομένη (ότι μια ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη μπορεί να σχεδιαστεί - αυτό αποδεικνύεται) . Προσπάθησαν να αποδείξουν αυτή τη δήλωση για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια, λαμβάνοντας υπόψη τα άλλα αξιώματα της γεωμετρίας, αλλά όλες οι προσπάθειες ήταν ανεπιτυχείς. Τα «αποδεικτικά στοιχεία» που αποκτήθηκαν αποδείχθηκαν λανθασμένα. Και όμως, παρά την πλάνη αυτών των «αποδείξεων», έφεραν μεγάλα οφέλη στην ανάπτυξη της γεωμετρίας. Μπορούμε να πούμε ότι ετοίμασαν ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα στον τομέα της γεωμετρίας και όλων των μαθηματικών - τη δημιουργία της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Η τιμή της ανάπτυξης μιας νέας γεωμετρίας ανήκει στον μεγάλο συμπατριώτη μας Ν.Ι. Lobachevsky και ο Ούγγρος μαθηματικός Janos Bolyai. Ν.Ι. Ο ίδιος ο Λομπατσέφσκι προσπάθησε αρχικά να αποδείξει το παράλληλο αξίωμα, αλλά σύντομα κατάλαβε ότι αυτό δεν μπορούσε να γίνει. Και ο δρόμος που ακολούθησε ο Λομπατσέφσκι για να πειστεί γι' αυτό τον οδήγησε στη δημιουργία μιας νέας γεωμετρίας. Αυτή η αξιοσημείωτη συνεισφορά στα μαθηματικά ήταν μια από αυτές που δόξασαν τη ρωσική επιστήμη.

Διαφάνεια αρ. 4

Περιγραφή διαφάνειας:

Η ανάλυση των σοφισμών πρώτα από όλα αναπτύσσει τη λογική σκέψη, δηλαδή ενσταλάζει τις δεξιότητες της σωστής σκέψης. Η ανίχνευση ενός λάθους σημαίνει να το συνειδητοποιήσει, και η επίγνωση του σφάλματος αποτρέπει την επανάληψή του σε άλλους μαθηματικούς συλλογισμούς. Αυτό που είναι ιδιαίτερα σημαντικό, η ανάλυση των σοφισμών βοηθά στη συνειδητή αφομοίωση του υλικού που μελετάται, αναπτύσσει παρατηρητικότητα, στοχαστικότητα και κριτική στάση απέναντι σε αυτό που μελετάται. Οι μαθηματικοί σοφισμοί διδάσκουν κάποιον να προχωρά προσεκτικά και επιφυλακτικά, να παρακολουθεί προσεκτικά την ακρίβεια των διατυπώσεων, την ορθότητα των σημειώσεων και των σχεδίων και το παραδεκτό των γενικεύσεων. Όλα αυτά είναι απαραίτητα και σημαντικά. Τέλος, η ανάλυση των σοφισμών είναι συναρπαστική. Όσο πιο δύσκολη είναι η σοφιστεία, τόσο πιο ικανοποιητική είναι η ανάλυσή της. Πόσο χρήσιμοι είναι οι σοφισμοί και τι δίνουν;

Διαφάνεια αρ. 5

Περιγραφή διαφάνειας:

Διαφάνεια αρ. 6

Περιγραφή διαφάνειας:

Αλγεβρικοί σοφισμοί Ακολουθούν ορισμένα αποτελέσματα επίλυσης σοφισμών: (για λεπτομερή προβολή, κάντε κλικ στην επιλεγμένη γραμμή) Παράδειγμα 1.1 σελ. = 10.000 κ. Παράδειγμα 2,5 = 6 Παράδειγμα 3,4 = 8 Παράδειγμα 4,2 · 2 = 5 Παράδειγμα 5,5 = 1 Παράδειγμα 6,4 = 5 Παράδειγμα 7. Κάθε αριθμός είναι ίσος με το μισό του Παράδειγμα 8. Η απόσταση από τη Γη στον Ήλιο είναι ίση στο πάχος μιας τρίχας Παράδειγμα 9. Οποιοσδήποτε αριθμός = 0 Παράδειγμα 10. Από δύο άνισους αριθμούς, ο πρώτος είναι πάντα μεγαλύτερος από τον δεύτερο

Διαφάνεια αρ. 7

Περιγραφή διαφάνειας:

Παράδειγμα 1.1 σελ. = 10.000 κ. Ας πάρουμε τη σωστή ισότητα: 1 τρίψιμο. = 100 κ. Ας το τετραγωνίσουμε κομμάτι-κομμάτι. Θα λάβουμε: 1 τρίψιμο. = 10.000 κ.************************************************ ***** ************************************************* ****Ερώτηση: Ποιο είναι το σφάλμα; Απάντηση (πατήστε "Enter" "): Ο τετραγωνισμός των ποσοτήτων δεν έχει νόημα. Μόνο οι αριθμοί είναι στο τετράγωνο.

Διαφάνεια αρ. 8

Περιγραφή διαφάνειας:

Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι 5 = 6. Για το σκοπό αυτό, ας πάρουμε μια αριθμητική ταυτότητα: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Ας βγάλουμε από αγκύλες τους κοινούς παράγοντες του αριστερού και του δεξιού μέρους. Παίρνουμε: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας με έναν κοινό παράγοντα (που περικλείεται σε παρένθεση) Παίρνουμε 5 = 6.**************************** ************************************************** * ***Ερώτηση: Ποιο είναι το σφάλμα; Απάντηση (πατήστε "Enter"): Ο κοινός παράγοντας (7 + 2 – 9) είναι 0 και δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το 0.

Διαφάνεια αρ. 9

Περιγραφή διαφάνειας:

Διαφάνεια αρ. 10

Περιγραφή διαφάνειας:

Παράδειγμα 4.2 · 2 = 5 Έχουμε μια αριθμητική ισότητα (σωστή): 4: 4 = 5: 5. Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα του εκτός παρενθέσεων σε κάθε μέρος. Παίρνουμε: 4 (1: 1) = 5 (1: 1). Οι αριθμοί στις αγκύλες είναι ίσοι, άρα 4 = 5, ή 2 2 = 5.*************** ****************************************************** *********Ερώτηση: Πού είναι το σφάλμα εδώ; Απάντηση (πατήστε "Enter"): Έγινε σφάλμα κατά την τοποθέτηση του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων στην αριστερή και δεξιά πλευρά της ταυτότητας 4: 4 = 5 : 5.

Διαφάνεια αρ. 11

Περιγραφή διαφάνειας:

Από τους αριθμούς 5 και 1 αφαιρούμε χωριστά τον ίδιο αριθμό 3. Παίρνουμε τους αριθμούς 2 και – 2. Όταν αυτοί οι αριθμοί τετραγωνιστούν, παίρνουμε ίσους αριθμούς 4 ΚΑΙ 4. Αυτό σημαίνει ότι οι αρχικοί αριθμοί 5 και 1 πρέπει επίσης να είναι ίσο. *************************************************** ************************** Ερώτηση: Ποιο είναι το σφάλμα; Απάντηση (πατήστε "Enter"): Από την ισότητα των τετραγώνων δύο αριθμών δεν συνεπάγεται ότι αυτοί οι ίδιοι οι αριθμοί είναι ίσοι.

Διαφάνεια αρ. 12

Περιγραφή διαφάνειας:

Έχουμε μια αριθμητική ισότητα (σωστή): 16 – 36 = 25 – 45; 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2; 4 – 4,5 = 5 – 4,5; 4 = 5. ********************************************** ******** ****************************************** Ερώτηση: Τι είναι το σφάλμα; Απάντηση (πατήστε "Enter"): (4 – 4.5)2 = (5 – 4.5)2 ↔ |4 – 4.5| = |5 – 4,5|. Παράδειγμα 6.4 = 5

Διαφάνεια αρ. 13

Περιγραφή διαφάνειας:

Παράδειγμα 7. Κάθε αριθμός είναι ίσος με το μισό του Ας πάρουμε δύο ίσους αριθμούς a και b, a = b. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας με το a και ας τις αφαιρέσουμε από τα γινόμενα ως προς το b2. Παίρνουμε: a2 – b2 = ab – b2, ή (a + b) (a – b) = b (a – b).Επομένως a + b = b, ή a + a = a, αφού b = a. , 2a = a, a = . **************************************************** ************************ Ερώτηση: Ποιο είναι το σφάλμα; Απάντηση (πατήστε "Enter"): Δεν μπορείτε να διαιρέσετε στο (a – b), αφού (α – β) = 0.

Διαφάνεια αρ. 14

Περιγραφή διαφάνειας:

Παράδειγμα 8. Η απόσταση από τη Γη στον Ήλιο είναι ίση με το πάχος μιας τρίχας Έστω a (m) η απόσταση από τη Γη στον Ήλιο και b (m) το πάχος μιας τρίχας. Υποδηλώνουμε τον αριθμητικό μέσο όρο τους με v. Έχουμε: a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Πολλαπλασιάζοντας τις δύο τελευταίες ισότητες με μέρη, παίρνουμε: a2 – 2av = b2 – 2bv. Ας προσθέσουμε v2 σε κάθε μέρος. Παίρνουμε: a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, ή (a – v)2 = (b – v)2, δηλ. (a – v) = (b – v), και επομένως a = b. **************************************************** ************************ Ερώτηση: Πού είναι το σφάλμα εδώ; Απάντηση (πατήστε "Enter"): Σφάλμα όπως στο παράδειγμα Νο. 6.

Διαφάνεια αρ. 15

Περιγραφή διαφάνειας:

Παράδειγμα 9. Οποιοσδήποτε αριθμός = 0 Όποιος κι αν είναι ο αριθμός a, ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες: (+a)2 = a2 και (– a)2 = a2. Επομένως, (+a)2 = (– a)2, που σημαίνει +a = – a, ή 2a = 0, και επομένως a = 0. **************** * ************************************************** *******Ερώτηση: Ποιο είναι το σφάλμα; Απάντηση (πατήστε "Enter"):

Διαφάνεια αρ. 16

Περιγραφή διαφάνειας:

Παράδειγμα 10. Από δύο άνισους αριθμούς, ο πρώτος είναι πάντα μεγαλύτερος από τον δεύτερο Έστω a και b αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ b. Έχουμε: (α – β)2 > 0, δηλ. a2 – 2ab – b2 > 0, ή a2 + b2 > 2ab Και στις δύο πλευρές αυτής της ανισότητας προσθέτουμε – 2b2. Παίρνουμε: a2 – b2 > 2ab – 2b2, ή (a + b) (a – b) > 2b (a – b). Αφού διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με το (a – b) έχουμε: a + b > 2b, που σημαίνει ότι a > b. **************************************************** ************************ Ερώτηση: Πού έγινε το λάθος; Απάντηση (πατήστε "Enter"): Όταν διαιρείτε και τις δύο πλευρές της ανισότητας (a + β) (α – β) > 2β (α – β) με (α – β) το πρόσημο της ανισότητας μπορεί να αλλάξει στο αντίθετο (αν α – β< 0).

Διαφάνεια αρ. 17

Περιγραφή διαφάνειας:

Γεωμετρικοί σοφισμοί Ακολουθούν μερικά παραδείγματα γεωμετρικών σοφισμών: (για λεπτομερή προβολή, κάντε κλικ στην επιλεγμένη γραμμή) Παράδειγμα 1. Μυστηριώδης εξαφάνιση. Παράδειγμα 2. Γη και πορτοκαλί Παράδειγμα 4. Δύο κάθετες Παράδειγμα 5. «Νέα απόδειξη» του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Διαφάνεια αρ. 18

Περιγραφή διαφάνειας:

Παράδειγμα 1. Μυστηριώδης εξαφάνιση Έχουμε ένα αυθαίρετο ορθογώνιο πάνω στο οποίο σχεδιάζονται 13 ίδιες γραμμές σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Τώρα «κόβουμε» το ορθογώνιο με μια ευθεία γραμμή MN που διέρχεται από το πάνω άκρο του πρώτου και το κάτω άκρο της τελευταίας γραμμής . Μετακινούμε και τα δύο μισά κατά μήκος αυτής της γραμμής και παρατηρούμε ότι αντί για 13 γραμμές υπάρχουν τώρα 12. Μία γραμμή έχει εξαφανιστεί χωρίς ίχνος. **************************************************** ************************Ερώτηση: Πού εξαφανίστηκε η 13η γραμμή; Απάντηση (πατήστε "Enter"):

Διαφάνεια αρ. 19

Περιγραφή διαφάνειας:

Παράδειγμα 2. Η Γη και το Πορτοκάλι Ας φανταστούμε ότι η υδρόγειος είναι καλυμμένη με ένα στεφάνι κατά μήκος του ισημερινού και ότι το πορτοκάλι τυλίγεται ομοίως γύρω από τον μεγάλο κύκλο του. Στη συνέχεια, φανταστείτε ότι η περιφέρεια κάθε στεφάνης έχει επιμηκυνθεί κατά 1 m. Τότε οι κρίκους θα υστερούν πίσω από την επιφάνεια των σωμάτων και θα σχηματίσουν κάποιο κενό************************************ ************* ************************************* *******Ερώτηση: Πού θα είναι μεγαλύτερο το κενό; : κοντά σε ένα πορτοκάλι ή κοντά στη Γη; Απάντηση (πατήστε "Enter"): Έστω η περιφέρεια της σφαίρας = C και η περιφέρεια ενός πορτοκαλιού = μέτρα . Τότε η ακτίνα της Γης είναι R = C/2 και η ακτίνα του πορτοκαλιού είναι r = c/2. Αφού προσθέσουμε 1 μέτρο στις ακτίνες, η περιφέρεια της στεφάνης της Γης θα είναι C + 1, και αυτή του πορτοκαλιού θα είναι c + 1. Οι ακτίνες τους, αντίστοιχα, θα είναι: (C + 1)/2 και (c + 1)/2. Αν αφαιρέσουμε τις παλιές από τις νέες ακτίνες, παίρνουμε το ίδιο πράγμα και στις δύο περιπτώσεις.(C + 1)/2 - C/2 = 1/2 - για τη Γη, (c + 1)/2 - c/ 2 = 1/ 2 - για ένα πορτοκάλι Έτσι, η Γη και το πορτοκάλι έχουν το ίδιο κενό 1/2 μέτρου (περίπου 16 cm).

Διαφάνεια αρ. 20

Περιγραφή διαφάνειας:

Κατά τη διάρκεια του ταξιδιού, μια ορθογώνια τρύπα μήκους 13 cm και πλάτους 5 cm εμφανίστηκε στον πυθμένα του ξύλινου πλοίου, δηλ. επιφάνεια οπής = 65 cm2. Ο ξυλουργός του πλοίου πήρε ένα τετράγωνο ξύλο με πλευρά 8 cm τετράγωνο (δηλαδή εμβαδόν = 64 cm2), το έκοψε σε ευθείες γραμμές σε τέσσερα μέρη A, B, C, D όπως φαίνεται στο σχήμα 2 και μετά τα δίπλωσε έτσι. ότι το αποτέλεσμα ήταν ένα ορθογώνιο που αντιστοιχούσε ακριβώς στην τρύπα, βλέπε Εικόνα 3. Σφράγισε την τρύπα με αυτό το ορθογώνιο. Αποδείχθηκε ότι ο ξυλουργός κατάφερε να μετατρέψει ένα τετράγωνο 64 cm2 σε ορθογώνιο με εμβαδόν 65 cm2. ************************ ********* ********************** Ερώτηση: Πώς θα μπορούσε να συμβεί αυτό; Απάντηση (πατήστε "Enter"): Είναι εύκολο να το δείτε ότι τα τρίγωνα Α και Β που προκύπτουν κατά την κοπή ενός τετραγώνου είναι ίσα μεταξύ τους. Τα τραπεζοειδή Γ και Δ είναι επίσης ίσα. Η μικρότερη βάση των τραπεζοειδών και το μικρότερο σκέλος των τριγώνων είναι ίσα με 3 cm και επομένως πρέπει να συμπίπτουν όταν το τρίγωνο Α συνδυάζεται με το τραπέζιο Γ και το τρίγωνο Β με το τραπέζιο Δ. Ποιο είναι το μυστικό ? Το γεγονός είναι ότι τα σημεία G, H, E δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, tan EHK = 8/3 και tan HGJ = 5/2. Αφού 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0, τότε EHK > HGJ. Ομοίως, η γραμμή EFG έχει σπάσει. Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που προκύπτει είναι πράγματι 65 cm2, αλλά έχει μια σχισμή με τη μορφή παραλληλογράμμου, το εμβαδόν του οποίου είναι ακριβώς 1 cm2. Το μεγαλύτερο πλάτος διακένου είναι 5 – 3 – (5 3)/8 = 1/8 εκ. Έτσι, ο ξυλουργός θα πρέπει ακόμα να καλύψει το μικρό κενό.

Διαφάνεια αρ. 21

Περιγραφή διαφάνειας:

Παράδειγμα 4. Δύο κάθετες Ας προσπαθήσουμε να «αποδείξουμε» ότι μέσα από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από μια ευθεία, δύο κάθετες μπορούν να σχεδιαστούν σε αυτήν την ευθεία. Για το σκοπό αυτό, πάρτε το τρίγωνο ABC (Εικόνα 4). Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ αυτού του τριγώνου, όπως και στις διαμέτρους, θα κατασκευάσουμε ημικύκλια. Αφήστε αυτά τα ημικύκλια να τέμνουν την πλευρά AC στα σημεία E και D. Ας συνδέσουμε τα σημεία E και D με ευθείες γραμμές στο σημείο B. Η γωνία AEB είναι μια ευθεία γραμμή, όπως μια εγγεγραμμένη, με βάση τη διάμετρο. Η γωνία BDC είναι επίσης σωστή. Επομένως, BE AC και BD AC. Δύο κάθετες στην ευθεία AC διέρχονται από το σημείο Β. ************************************************* Ερώτηση: Ποιο είναι το λάθος; Απάντηση (πατήστε «Enter»): Ο συλλογισμός βασίστηκε σε λανθασμένο σχέδιο. Στην πραγματικότητα, τα ημικύκλια τέμνουν την πλευρά AC σε ένα σημείο, δηλ. Το BE είναι το ίδιο με το BD.

Περιγραφή διαφάνειας:

«Άβαντα +. Μαθηματικά". – Μόσχα, εκδ. “Avanta +”, 1998. “BEKM – 2007”. – Μόσχα, 2007. Ignatiev E.I. «Μαθηματική γνώση. Διασκεδαστικές εργασίες, παιχνίδια, κόλπα, παράδοξα.” – Μόσχα, εκδ. "Omega", 1994. Nagibin F.F., Kanin E.S. "Μαθηματικό κουτί" – Μόσχα, εκδ. «Διαφωτισμός», 1988.